這篇我應該主要講的是一些回頭看自己學習微積分or to say 分析的歷程，講一些自己想講的東西。而因為自己基本上都是在讀代數相關的東西，分析很久沒有碰，所以可能講的不是特別好。
首先，這裡的微積分的定義有點模糊，因為我自己是直接看Baby Rudin學微積分的，然後再在大一的微積分課程補了一下自己的計算能力不足，所以我打算講到啥就講啥，不想太嚴格。
再來，以下可能會出現3種語言，中文、英文 and 台語。
Why we learn Calculus
對非數學系的人來說，微積分是一個語言，它是用來描述那些連續相關性質的語言，比如自然界中的種種現象，我們可以用微分方程去描述，而微分方程的基礎語言就是微積分，而對於統計機率來說，微積分也很重要，這是因為考慮連續的分佈(distribution)，我們要看那些random variable是遵循什麼樣的分佈時，就會利用微積分的語言了。
在數學系的視角來看，微積分就是一個很基礎的理論，它可以讓你第一次從高中那種比較不嚴格的論述走向嚴格論述，這也是數學系新生可能第一次面對到的困難–epsilon-delta定義。
在這之後的章節大概就是微積分的幾個topic了，定義連續、連續函數、連續函數的幾大定理、定義微分及微分的性質blabla，其中我覺得比較重要的是隱函數定理(Implicit Function Theorem)。在幾何中，隱函數定理很常出現，我記得在去年讀Loring W. Tu的那本manifold中，突然出現了隱函數定理，然後去問了系上做幾何分析的教授，才發現隱函數定理大有學問，這也讓我想到自己在代數路上走太深了，沒有怎麼注意其他方向的有趣東西，真是慚愧。
Some topics of Calculus
這邊我想要講一下微積分的看點，會粗略分為計算跟理論兩個部分。
- 計算
計算這部分真的算老生常談，首先是計算能力。計算能力需要一次又一次的練習去練起來，根據我的經驗，無論是教授或是身邊同學，大家都這樣講的，所以還是不要像我一樣，都看題目然後想到方法就不動手算。
第二部分是積分法則。這部分我還記得大一時我覺得非常無聊，因為我實在懶得因為考試去背這些東西ww，但是和同學討論後，他給我了一個我覺得很棒的理由，他叫我給出有理函數都是可積的證明，而這個就是你可以在微積分課本上看到那些長長的公式的理論基礎。而這些積分法則在計算上真的很方便，這在有上到常微分方程課程的科系就能知道的事實。
- 理論
這部分我覺得可以講幾個有趣的看點
首先是實數，這部分在大一時基本不會遇到，除非你是數學系，尤其是國外的數學系學生。實數定義本身就很有趣，在分析上，我有看過用公理直接定義的(比如Zorich那本數學分析書)、用Dedekind cut定義(大部分書籍都這樣定義)以及用Cantor sequence定義(Tao以及Amann -Escher裡面有）。不同方法代表了作者的品味，比如公理法就是簡單粗暴，我很喜歡這種風格，另外兩種是比較符合數學那種定義定理證明的調調，但是都需要花一個大篇幅去講，除非像Rudin直接塞在習題那就沒差了XD
第二個看點我覺得是微積分基本定理
微積分基本定理作為一個現在高中生都知道的定理，但是它背後藏了很多很深的東西，這些東西可以顯現數學家為了一般化，所以去設計出後續的很多理論，而微積分基本定理是一個引入Lebesgue Integral的一個很好的motivation。
在一般的書籍中，我們能看見這樣的微積分基本定理的條件：
F(x)可導、f(x)可積、F'(x)=f(x)
這個形式我記得跟高中不同，因為F的導數不一定可基以及f不一定可導，所以我們不要求f一定是F的導數，也就是這個形式是比高中時還要強的。
除此之外我們還有其他更強的形式，但是都得不到像高中那種簡潔的形式，這是因為Riemann積分的侷限性，而為了解決這個問題，我們可以引入Lebesgue積分，而這部分就是其他故事了，以後有機會再講。
第三個看點是隱函數定理，而它的重要性前面已經講過了，這邊稍微講一下證明它的幾個方法。
第一個方法是傳統的解方程，也就是做消元，之後做歸納，這個方法你能在100多年前的分析書找到，真的很傳統。第二個方法是找extreme value，這個方法我瞭解的不多，因為這是當初同學報告時給的酷東西，大概的難點是要找到一個函數去幫助你做出一些東西以及這個方法不能推廣到更一般的space，只能在歐式空間。第三個是現代最常見的方法，大家是叫它不動點法，它只需要一些前置知識比如metric space跟Banach不動點定理，就可以很漂亮的解決，而且在這個證明下，我們可以得知隱函數定理在一般的Banach space也是valid的。
最後一個看點我想要講的是一些作者會把拓撲、實分析、複分析以及流形之類的知識塞進課本中。
這部分有的人會覺得很討厭，因為課程安排可能會重疊，比如Courant-John的那三本Introduction to Calculus and Analysis中，塞了非常多東西，導致在之後的課程要上分析時，會重疊到，而且在那三本中的敘述就已經很嚴格了，並不只是單純的topic重疊。
對我來說，我覺得把一些高級的知識放進大一大二的課程中是可行的，因為那些知識雖然說是高級，只不過是一些常見的東西抽象化之後的產物，而且這個抽象化沒有特別抽象。比如metric space，只要對real spce有最簡單的理解，就可以用類比的方式去看它。
這邊還有一個看點超級重要，這邊因為我不想講所以跳過。如果說看一本分析書要看哪裡，就是要看它對於重積分換元定理的證明長什麼樣。這個定理要完完全全的證明可能要7 8頁正文，有些書是很含糊的就帶過。
Ways to learn Calculus
實踐是檢驗真理的唯一標準
數學這個科目不可避免的要做題目，但是要根據自己的胃口去寫多少以及怎麼樣的題目。這部分我的大致建議是一個章節盡量不要超過10題，選題方法可以去問看看自己的老師或是教授，甚至是去問AI，主要是問哪些題目是經典的題目就行了。
再來是選書，以非數學系的學生來講，只要找到一本最適合自己的書就好了，這部分可以去網路找看看自己相同科系或者背景的人的心得。
而對於數學系的學生，我認為除了一本最適合自己的書外，還要找好幾本參考書做參考。以我為例子好了，我當初是Baby Rudin當精讀，Zorich以及Amann-Escher當作參考書，而其中後者第三卷也是我精讀的，這是因為Baby Rudin最後講了Lebesgue theory ，但是大家的共識跟我自己也覺得寫的不是特別好，所以就用其他書了。
最後是心態，學習數學本身就是挫折滿滿，這是不管在哪個階段都會遇到的，對於挫折這件事，應該是要根據個人而去找方法解決，我自己是本身就習慣了這種挫折，所以才一直學數學到現在並且未來還想繼續走這條路下去。
後記
這是我第一次寫這種文章，歡迎指出缺點。
以前都會覺得這種科普文章沒什麼，但是現在發現要給一些不是數學領域的人知道數學的一些東西，不是特別容易的事哈哈哈。